なぜ模試の成績から入試の合否が予想できるのか?

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模試の意味

前回、2つの変数の間に関連があるのかどうかを調べる指標の話をしました。
例えば、経験的に「夏暑いほどビールが売れる」気がするとして、
7月・8月の62日間について、最高気温と、売れたビールの本数を調査したとしましょう。

この場合どちらも「数量データ」ですから、「相関係数」を計算してあげます。
おそらく、そこそこ1に近い値になって、関連ありそう、という結論が導けると思います。

…で?

これだけだと、単なる趣味、と言ってしまえばそれまでですが、
このデータを使って、未来の予測をする手法があるんですよ。
それが「回帰分析」という手法です。

ごく簡単に書きますと、上の62日間のデータを点グラフにして、
これら62個のデータを最もよく表すような直線の式(y=ax+b)で近似するわけです。
(最小二乗法を使います。なお、直線以外でもかまいません)
これを「回帰式」といいます。

そうすれば、例えば天気予報で来年の夏の最高気温がわかれば、xに代入して、
売れるビール本数yの予測ができるというわけですね。
もっと幅を持たせて、「信頼率95%で○本以上△本以下に収まる」
というような予測も可能です。

ここで、xを「説明変数」、yを「目的変数」といいます。

説明変数1つの例で説明しましたが、
説明変数を複数にする「重回帰分析」も可能です。
「駅からの距離」と「店舗の広さ」から「売上」を予測する、等ですね。

さて今の例は、「数値」を予測する方法でした。

しかし、みなさんが関心があるのは、
模試の成績と入試の合否との関係です。
入試の合否は、それ自体は「数値」ではないのでカテゴリーデータです。

そこでどうするか。
模試の成績(平均偏差値)を説明変数xとした場合に、
「入試に合格できる確率」(=y:目的変数)を予測してあげればいいのです。

これを「ロジスティック回帰分析」といいます。

「最尤法(さいゆうほう)」という方法を使います。
最も尤も「もっとも」という意味ですから、「もっとももっともな方法」という
なんともしつこい名前です(笑)

詳しい説明は省略しますが、
今回のyは確率ですから、0から1までの値しか取れませんので、
y=ax+bみたいな単純な式にならないわけですね。

自然対数eまででてくるような、微分積分の理論をふんだんにつかったものになります。

まあでも考え方は一緒で、

(注意:実際に各予備校の模試が上記の手法を用いているかどうかは私は知りません。
あくまでも統計学で有名な方法をご紹介しただけです)

というわけで、模試のすごさがわかりましたか?

模試で上位の成績をとることにはちゃんと意味があります。

がんばってくださいね!

参考文献:マンガでわかる統計学[回帰分析編](オーム社)

 

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